解説がなかったので解説を考えてみました。
ニュートン法を知っていれば一瞬で解ける問題ですが、知らなくても高校までの数学の知識があれば解くことができます。
導関数(f'(x))に定数を代入した値(f'(x0))を微分係数と呼び、これは接線の傾きを表します。
ここで、傾きの定義を考えます。
xy平面上における直線の傾きは、yの変化量÷xの変化量で定義されています。
この問題の接線は(x1, 0)と(x0, f(x0))を通る直線なので、
yの変化量を(f(x0) - 0)、xの変化量を(x0 - x1)とすれば、
f'(x0) = f(x0) / (x0 - x1)となり、
これを変形してx1 = x0 - (f(x0) / f'(x0))となります。

ごまさん

ご提案ありがたいです。早速、解説文に採用させていただきます。
きっと他の受験者の方の参考にもなると思います。

  http://www.ap-siken.com/kakomon/20_aki/q3.html

こんな問題見ちゃったら、受ける気なくしますね。
受験生の出鼻を挫く、意地悪な問題ですね。。