頂点の対応検討について参考書を見ても、今ひとつわかりません。
もう少し分かりやすく解説してくれる方がいませんでしょうか？
宜しくお願いします。

このサイトの解説と違う捉え方で説明してみます。ある頂点と他の頂点がどのようにつながっているかを、以下のように考察します。ちょっと難しいかもしれません。

【Aについて】
a0から出ている辺は3つで、その先はa1、a3、a5です。
a0からa1に同じ頂点を1回だけ通って行くときに経由する辺の数は、1、3、5です。
a0からa3に同様に行くときは、1、3、5です。
a0からa3に同様に行くときは、1、3、5です。

【Cについて】
c0から出ている辺は3つで、その先はc2、c3、c4です。
c0からc2に同じ頂点を1回だけ通って行くときに経由する辺の数は、1、3、5です。
c0からc3に同様に行くときは、1、3、5です。
c0からc4に同様に行くときは、1、3、5です。

【Bについて】
b0から出ている辺は3つで、その先はb1、b3、b5です。
b0からb1に同じ頂点を1回だけ通って行くときに経由する辺の数は、1、2、3、4、5です。
b0からb3に同様に行くときは、1、3、4、5です。
b0からb5に同様に行くときは、1、2、3、4、5です。

これらのことから、アの「AはCと同形であるが，Bとは同形でない。」と言えます。