メッセージ認証符号についてですが、手順に共通鍵を使用すると問題でも記述されていますが、
ディジタル署名みたいに公開鍵でやるのと何か違いがあるのでしょうか？

自分的には一緒な気がします。

メッセージ認証には、ソフトウェア開発技術者 平成18年春期 午前問74
https://www.ap-siken.com/kakomon/18_haru/q74.html
の解説にあるように、二つの方式があります。一つは、共通鍵を用いてメッセージを暗号化したMAC(メッセージ認証符号)を用いる方式で、もう一つは、メッセージと共通鍵からハッシュ関数により求めたMACを用いる方式です。

また、ディジタル署名は、公開鍵暗号方式を用いたメッセージ認証と言うことができ、メッセージ認証の機能＋送信者認証の機能です。
ソフトウェア開発技術者 平成18年秋期 午前問73
https://www.ap-siken.com/kakomon/18_aki/q73.html
この解説に、なぜか「ディジタル署名」という用語が登場しません。

なお、「手順に共通鍵を使用すると問題でも記述されています」は、どの問題でしょうか？