平成20年秋期試験問題 午前問3
問3解説へ
関数y＝ƒ(x)上の点(x0，ƒ(x0))における接線とx軸との交点のx座標をx1とする。x0とx1の関係式はどれか。ここで，ƒ'(x)はƒ(x)の導関数である。
- x1＝ƒ'(x0)－ƒ(x0)
- x1＝ƒ(x0)－ƒ'(x0)
- x1＝x0－ƒ'(x0)ƒ(x0)
- x1＝x0－ƒ(x0)ƒ'(x0)
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解説
導関数 ƒ'(x) に定数を代入した値 ƒ'(x0) を微分係数といい、これは接線の傾きを表します。
ここで、傾きの定義を考えます。xy平面上における直線の傾きは、yの変化量÷xの変化量で定義されています。この問題の接線は (x1, 0) と (x0, ƒ(x0)) を通る直線なので、yの変化量を ƒ(x0)－0、xの変化量を x0－x1 とすれば、
ƒ'(x0)＝ƒ(x0)x0－x1
となり、これを以下のように変形すると、
ƒ'(x0)＝ƒ(x0)x0－x1
ƒ'(x0)(x0－x1)＝ƒ(x0)
x0－x1＝ƒ(x0)ƒ'(x0)
－x1＝ƒ(x0)ƒ'(x0)－x0
x1＝x0－ƒ(x0)ƒ'(x0)
「エ」の関係式 x1＝x0－ƒ(x0)ƒ'(x0) となります。
ここで、傾きの定義を考えます。xy平面上における直線の傾きは、yの変化量÷xの変化量で定義されています。この問題の接線は (x1, 0) と (x0, ƒ(x0)) を通る直線なので、yの変化量を ƒ(x0)－0、xの変化量を x0－x1 とすれば、
ƒ'(x0)＝ƒ(x0)x0－x1
となり、これを以下のように変形すると、
ƒ'(x0)＝ƒ(x0)x0－x1
ƒ'(x0)(x0－x1)＝ƒ(x0)
x0－x1＝ƒ(x0)ƒ'(x0)
－x1＝ƒ(x0)ƒ'(x0)－x0
x1＝x0－ƒ(x0)ƒ'(x0)
「エ」の関係式 x1＝x0－ƒ(x0)ƒ'(x0) となります。
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