平成21年春期試験問題 午前問16
問16解説へ
3台の装置X～Zを接続したシステムA，Bの稼働率について，適切なものはどれか。ここで，3台の装置の稼働率は，いずれも0より大きく1より小さいものとする。
- 各装置の稼働率の値によって，AとBの稼働率のどちらが高いかは変化する。
- 常にAとBの稼働率は等しい。
- 常にAの稼働率が高い。
- 常にBの稼働率が高い。
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解説
稼働率がそれぞれRa、Rbの機器がある場合、2つが直列接続されているときの全体としての稼働率はRa×Rb、並列で接続されているときの稼働率は1－(1－Ra)(1－Rb)の式で表すことができます。
3つの装置X～Zの稼働率をそれぞれx～zとすると、システムA、Bの稼働率は次の式で表せます。
【システムA】
(1－(1－x)(1－y))・z
＝(1－(1－x－y＋xy))・z
＝(x＋y－xy)・z
＝xz＋yz－xyz
【システムB】
1－(1－x・z)(1－y)
＝1－(1－y－xz＋xyz)
＝xz＋y－xyz
2つの式を比較すると「xz－xyz」の部分は同じで、異なるのは「yz」と「y」の項だけです。3台の装置の稼働率は、いずれも0より大きく1より小さいので、常に「yz＜y」の関係となり、結果として以下の式が成り立ちます。
xz＋yz－xyz＜xz＋y－xyz
（Aの稼働率＜Bの稼働率）
したがって、「常にBの稼働率が高い」という記述が適切です。
3つの装置X～Zの稼働率をそれぞれx～zとすると、システムA、Bの稼働率は次の式で表せます。
【システムA】
(1－(1－x)(1－y))・z
＝(1－(1－x－y＋xy))・z
＝(x＋y－xy)・z
＝xz＋yz－xyz
【システムB】
1－(1－x・z)(1－y)
＝1－(1－y－xz＋xyz)
＝xz＋y－xyz
2つの式を比較すると「xz－xyz」の部分は同じで、異なるのは「yz」と「y」の項だけです。3台の装置の稼働率は、いずれも0より大きく1より小さいので、常に「yz＜y」の関係となり、結果として以下の式が成り立ちます。
xz＋yz－xyz＜xz＋y－xyz
（Aの稼働率＜Bの稼働率）
したがって、「常にBの稼働率が高い」という記述が適切です。
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