応用情報技術者 試験情報＆徹底解説

数字を代入して解かない方法を共有します。
http://www.ap-siken.com/kakomon/27_haru/q15.html

各ノード間の経路(パス)の稼働率をr
A案の稼働率をA(r)
B案の稼働率をB(r)
とします。

解説の式を借用し展開すると、
A(r) = 1 - ( 1 - r^2 )^2 = 2(r^2) - r^4
B(r) = ( 1 - ( 1 - r )^2 )^2 = 4(r^2) - 4(r^3) + r^4

ここで、 A(r) - B(r) を計算すると、
A(r) - B(r) = { 2(r^2) - r^4 } - { 4(r^2) - 4(r^3) + r^4 }
= r^2 [ { 2 - (r^2) } - { 4 - 4r + r^2 } ]
= r^2 [ -2 + 4r - 2(r^2) ]
= -2(r^2) [ r^2 - 2r + 1 ]
= -2(r^2)( r - 1 )^2 … #1
となります。

#1 の式の符号について( 0 < r < 1 )の範囲で考えると、
r^2 → 常に正 
( r - 1 ) ^2 → 常に正
となるので、A(r) - B(r) の符号は、
-2 × (常に正) × (常に正) = 常に負
となります。

ゆえに、A(r) - B(r) < 0 
したがって、 A(r) < B(r) となるので、
B案の方が，A案よりも稼働率が高い。

ipaapiさんの解き方は、正攻法ですね。では、ここで、この問題に限っての裏技あるいは直感的な解き方を紹介します。

A案の二つのノードN間に線を引いたものをC案とします。
A案は、C案をベースにして、ノードN間の稼働率が0のもの、
B案は、C案をベースにして、ノードN間の稼働率が1のもの
ととらえることができます。

したがって、全体の稼働率は、B案の方がA案よりも高いに決まっています。